⚡ Électricité · Fondamentaux approfondis
Potentiel, résistivité, diviseurs, théorèmes généraux, puissance en alternatif, sécurité et analyse de circuits
🔋 1. Potentiel électrique & différence de potentiel (ddp)
Le potentiel électrique \(V\) (en volts) est une grandeur scalaire associée à un point de l'espace. La différence de potentiel entre deux points A et B est la tension \(U_{AB} = V_A - V_B\).
La masse (0 V) est souvent prise comme référence dans les circuits.
🌡️ 2. Résistivité et dépendance thermique
La résistance d'un conducteur dépend de la température : pour les métaux, \(R(T) = R_0 [1 + \alpha (T - T_0)]\) avec \(\alpha\) coefficient de température.
Conductivité : \(\sigma = 1/\rho\) (S/m). Les supraconducteurs ont \(\rho \to 0\) en dessous d'une température critique.
🔌 3. Générateurs et récepteurs – Modèle réel
Un générateur réel (pile, batterie) est modélisé par une force électromotrice \(E\) (fem) et une résistance interne \(r\).
Pour un récepteur (moteur, électrolyseur) : \(U = E' + r' I\) (force contre-électromotrice).
⚙️ 4. Théorèmes d'électricité (superposition, Thévenin, Norton)
Théorème de superposition : Dans un circuit linéaire, la contribution de chaque source indépendante s’additionne (on éteint les autres sources).
Thévenin : tout réseau linéaire vu entre deux bornes peut être remplacé par une source de tension \(E_{th}\) en série avec une résistance \(R_{th}\).
Norton : équivalent par une source de courant \(I_N\) en parallèle avec \(R_N = R_{th}\).
📏 5. Ponts diviseurs (tension / courant)
Diviseur de tension (résistances en série) :
Diviseur de courant (résistances en parallèle) :
Utile pour les capteurs, les réglages de tension, et l'analyse rapide des circuits.
📈 6. Puissance, énergie et rendement électrique
Puissance électrique fournie par un générateur : \(P_{fournie} = E \cdot I\)
Puissance utile (aux bornes) : \(P_{utile} = U \cdot I\)
Rendement \(\eta = \dfrac{P_{utile}}{P_{fournie}} = \dfrac{U}{E} = \dfrac{R_{charge}}{R_{charge} + r}\)
🔄 7. Fondamentaux du courant alternatif (AC)
Un signal sinusoïdal s'écrit : \(u(t) = U_{max} \sin(\omega t + \varphi)\).
- \(\omega = 2\pi f\) (pulsation en rad/s)
- Valeur efficace : \(U_{eff} = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}}\) , \(I_{eff} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}\)
- En alternatif résistif : \(P = U_{eff} \cdot I_{eff}\) (loi d'Ohm toujours valable \(u(t)=R\,i(t)\)).
Déphasage : pour une bobine ou condensateur, courant et tension ne sont pas en phase.
⚙️ 8. Puissance en régime sinusoïdal
Puissance active (W) : \(P = U_{eff} I_{eff} \cos\varphi\) (\(\cos\varphi\) = facteur de puissance)
Puissance réactive (VAR) : \(Q = U_{eff} I_{eff} \sin\varphi\)
Puissance apparente (VA) : \(S = U_{eff} I_{eff} = \sqrt{P^2+Q^2}\)
🛡️ 9. Sécurité électrique – notions essentielles
Les effets du courant sur le corps humain dépendent de l'intensité, du trajet et de la durée.
- Seuil de perception : ~ 0,5 mA (AC 50 Hz)
- Seuil de non-lâcher : ~ 10 mA
- Fibrillation ventriculaire : > 30 mA (danger mortel)
Protections : mise à la terre (PE), disjoncteur différentiel (30 mA), fusibles, isolation double.
📝 10. Exercices – Appliquer les fondamentaux
Soit un circuit composé d'une source 15V en série avec R1=5Ω, et une autre branche avec R2=10Ω en parallèle sur la sortie. Calculer le modèle équivalent de Thévenin vu aux bornes de R2.
\(E_{th}\) = tension à vide = \(15 \times \frac{10}{5+10} = 10\,V\).
\(R_{th}\) = résistance vue (source éteinte) = \(5\,\Omega // 10\,\Omega = \frac{5\times10}{15} = 3,33\,\Omega\).
Modèle : générateur 10 V en série avec 3,33 Ω.
Une batterie de fem 12 V a une résistance interne 0,2 Ω. Elle alimente une résistance de charge \(R_c = 2,8\,\Omega\). Calculer le courant, la tension en charge et le rendement.
\(I = \frac{E}{R_c + r} = \frac{12}{2,8+0,2} = \frac{12}{3} = 4\,A\)
\(U = E - r I = 12 - 0,2\times4 = 12 - 0,8 = 11,2\,V\)
Rendement \(\eta = \frac{U}{E} = \frac{11,2}{12} \approx 0,933\) soit 93,3%.
Un courant total de 5 A se divise entre R1=6 Ω et R2=4 Ω en parallèle. Calculer le courant dans chaque résistance.
\(I_1 = I_{tot} \times \frac{R_2}{R_1+R_2} = 5 \times \frac{4}{10} = 2\,A\) ; \(I_2 = I_{tot} - I_1 = 3\,A\) (vérif : \(I_2 = 5 \times \frac{6}{10} = 3A\)).
Une tension sinusoïdale a pour expression \(u(t)= 311\sin(314 t)\). Quelle est sa valeur efficace et sa fréquence ? Quel courant efficace traverse une résistance de 100Ω ?
\(U_{max}=311 V\) → \(U_{eff}=311/\sqrt{2} \approx 220\,V\) (réseau domestique).
\(\omega = 314 rad/s\) → \(f = 314/(2\pi) \approx 50\,Hz\).
\(I_{eff} = U_{eff}/R = 220/100 = 2,2\,A\). Puissance active = \(220\times2,2 = 484\,W\).
📊 Tableau synthétique des grandeurs électriques
| Grandeur | Symbole | Unité | Mesure / Lien |
|---|---|---|---|
| Force électromotrice | E, fem | Volt (V) | \(E = U_{vide}\) |
| Résistance interne | r | Ohm (Ω) | \(U = E - rI\) |
| Conductance | G | Siemens (S) | \(G = 1/R\) |
| Réactance capacitive | X_C | Ω | \(X_C = 1/(C\omega)\) |
| Réactance inductive | X_L | Ω | \(X_L = L\omega\) |
| Impédance | Z | Ω | \(Z = \sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\) |
🧠 Schéma mental : générateur réel et puissance max
\(P_{max} = \frac{E^2}{4r}\) (théorème d'adaptation). En électronique, on l'utilise pour les signaux, mais en puissance on préfère souvent un rendement élevé.